2.5 Aritmética en los sistemas de numeración

La ejecución de cálculos numéricos como adición, sustracción, multiplicación y división, es esencialmente igual en todos los sistemas de numeración posicional.
Supondremos ya conocidas estas operaciones en el sistema decimal.

En esta sección veremos:

2.5.1 Aritmética en el sistema binario

a) Adición:

El algoritmo para sumar en el sistema binario es el mismo que se utiliza en el sistema decimal, haciendo uso de las siguientes reglas básicas:

S1) 0 + 0 = 0
S2) 1 + 0 = 1
S3) 0 + 1 = 1
S4) 1 + 1 = 10 o bien 1 + 1 = 0 llevando 1 a la siguiente columna de la izquierda.
S5) 1 + 1 + 1 = 11 o bien 1 + 1 + 1 = 1 llevando 1 a la siguiente columna de la izquierda.

Ejemplo: 11011,012+101,11012+1101,1012

 
11011,0100
+
101,1101
 
1101,1010

Los sumamos de a dos

 
11011,0100
+
101,1101
 
100001,0001

 
100001,0001
+
1101,1010
 
101110,1011

El resultado final es 101110,10112

 

b) Sustracción:

El algoritmo para restar en el sistema binario, es el mismo que se utiliza para restar en el sistema decimal, haciendo uso de las siguientes Reglas Básicas:

R1) 0 - 0 = 0
R2) 1 - 0 = 1
R3) 1 - 1 = 0
R4) 0 - 1 = 1 tomando prestado 1 de la siguiente columna de la izquierda (ésta disminuye en 1).

Aclaremos esta última regla: Como 1 + 1 = 10 entonces 10 - 1 = 1. La diferencia 0 - 1 requiere tomar 10 (tomar 1 de la siguiente columna de la izquierda) y se obtiene 10 - 1 = 1.

Ejemplo: 1101,1012 - 11,101112

 
1101,10100
-
11,10111
 
1001,11101

El resultado final es 1001,11101 2


c) Multiplicación:

Como la multiplicación decimal, la binaria se reduce a multiplicar números por dígitos y luego sumar.

Ejemplo: 11,01 (2 dígitos luego del punto) * 101,1 (1 dígito luego del punto)

11,01
(2 dígitos luego del punto)
x    101,1
( 1 dígito luego del punto)
1101
 
11010
 
1101000
10001,111
(3 dígitos luego del punto)

El resultado final es 10001,1112 (3 dígitos luego del punto)


d) División:

Como la división decimal, la división binaria se reduce a multiplicar el divisor por un dígito y restar este resultado al dividendo.

Ejemplo: 111,00001 / 1,01

111,00001
 
1,01          
- 101000000
 
101,101
010000000
 
- 101zzzzz
 
00110lllllllll
 
- 101u uu
 
0101jjjjjjj
 
- 101hhh
 
000jjjjjjjj
 

Observación: Como en la división decimal, no siempre la división es con resto cero. El resto debe ser menor que el divisor.

 

PRACTICA

2) Realizar las siguientes operaciones aritméticas

a) 10011 + 1100 b) 1001 + 101
c) 1011 + 1101 d) 1001 + 101 + 111 + 11
e) 100101 1001 f) 10000 - 111 g) 101010 11110
h) 11101 * 11,001 i) 1010101 / 1001

 

2.5.2 Aritmética octal

a) Adición:

Regla práctica : Al sumar dos dígitos octales:

1) Si la suma decimal es menor o igual a 7, coincide con la suma octal y no debemos hacer conversión.
2) Si la suma decimal es mayor a 7, debemos convertirla al sistema octal.

Veamos con un ejemplo que sucede en este caso:
    7
+   6
  13
-   8
    5

La suma decimal de 7 + 6 es 13. En el sistema octal esta suma es 15. Para obtener el residuo 5 restamos 13 - 8. Para el residuo 1 no restamos nada.

El procedimiento práctico puede disponerse entonces como sigue:

    7
+   6  
  13 Suma decimal (mayor que 7)
-   8 Modificación de la suma
  15 Suma en octal

Regla práctica para la adición de dígitos octales:
1) Se calcula la suma decimal de los dígitos dados
2) Si la suma decimal es menor o igual a 7, coincide con la suma octal.
3) Si la suma decimal es mayor que 7, restamos 8 y al resultado le agregamos un 1 adelante, obteniendo así la suma octal.

Ejemplo:73468 + 352638

1
1
1
7
3
4
6
+
3
5
2
6
3
4
12
6
11
9
(Sumas decimales)
-8
-8
-8
4
4
6
3
1

Resultado: 446318


b) Sustracción:

Para realizar la sustracción octal se utiliza el mismo procedimiento que para la resta decimal y binaria, pero resulta muy engorroso cuando hay que "pedir prestado" repetidas veces.

Ejemplo: 74318 - 21768

 
7431
-
2176
 
5233

Más adelante veremos un método que simplifica mucho la sustracción, utilizando los llamados complementos aritméticos. Este método es el más utilizado en Computación.

La multiplicación y división octales no las estudiaremos por no usarse en computación.

 

PRACTICA

3)Realizar las siguientes operaciones aritméticas

a) 175 + 34
d) 257 + 527 + 37
g) 653 - 576

b) 573 + 214
e) 765 - 627
h) 347 + 444

c) 346 + 177
f) 546 - 237
i) 654 - 567


2.5.3 Aritmética hexadecimal

a) Adición:

La regla práctica para sumar dígitos hexadecimales:

1) Calculamos la suma decimal de dígitos.
2) Si la suma es menor o igual que 15, coincide con la suma hexadecimal, teniendo en cuenta que :
A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
3) Si la suma decimal es mayor que 15, restamos 16 y le agregamos un 1 adelante al resultado, obteniendo así la suma hexadecimal.

Ejemplos:

  8  

3

 
+
  9  
+
5  
17 Suma decimal
8 Suma decimal
-
16 Modificación
  Sin Modificación
11 Suma en hexadecimal
8 Suma hexadecimal

Sea C86816 + 72D916

1
1
1
C
8
6
8
 
+
7
2
D
9
 
19
11
20
17
  Sumas decimales
-16
-16
-16
  Modificaciones
1
3
B
4
1
  Suma hexadecimal

Resultado 13B4116

b) Sustracción:

Se puede usar el método ya aplicado anteriormente.

Ejemplo: C86816 - 72D916

 
C868
-
72D9
 
558F

Resultado 558F16

La multiplicación y división hexadecimal no las estudiaremos por no usarse en computación.

 

PRACTICA

4) Realizar las siguientes operaciones aritméticas en los distintos sistemas de numeración.

a) 31E9 + 8F21
b) A19F + 4E61
c) 1ECA + F03A + 3D95
d) F865 - 9AB7
e) E73F - A983
f) A9CD - 87FE
g) 8D3 + 6FE
h) 15FE - FAF