2.4 Conversión de sistemas de numeración
La conversión
entre sistemas de numeración consiste en escribir el equivalente de un
número expresado en una base de origen a un numero en una base destino.
En esta seccion veremos:
Se realiza convirtiendo el vector de pesos del sistema origen al decimal.
a) Conversión de binario a decimal
Así entonces :
10110,012= 1 * 2^4 + 0* 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 , 0 * 2^-1 + 1 * 2^-2
10110,012= 16 + 0 + 4 + 2 + 0, 0 + 0,5 = 22,2510
Para facilitar el cálculo
| Vector de pesos | 2^5 |
2^4 |
2^3 |
2^2 |
2^1 |
2^0 |
2^-1 |
2^-2 |
2^-3 |
| Equivalente Decimal | 32 |
16 |
8 |
4
|
2 |
1 |
0,5 |
0,25 |
0,125 |
lo en esta tabla se listan potencias de 2
|
Potencia |
Valor
decimal |
Representación |
| 2
^ -10 |
0.0009765625 |
0.0000000001 |
| 2
^ -9 |
0.001953125 |
0.000000001 |
| 2
^ -8 |
0.00390625 |
0.00000001 |
| 2
^ -7 |
0.0078125 |
0.0000001 |
| 2
^ -6 |
0.015625 |
0.000001 |
| 2
^ -5 |
0.03125 |
0.00001 |
| 2
^ -4 |
0.0625 |
0.0001 |
| 2
^ -3 |
0.125 |
0.001 |
| 2
^ -2 |
0.25 |
0.01 |
| 2
^ -1 |
0.5 |
0.1 |
| 2
^ 0 |
1 |
1 |
| 2
^ 1 |
2 |
10 |
| 2
^ 2 |
4 |
100 |
| 2
^ 3 |
8 |
1000 |
| 2
^ 4 |
16 |
10000 |
| 2
^ 5 |
32 |
100000 |
| 2
^ 6 |
64 |
1000000 |
| 2
^ 7 |
128 |
10000000 |
| 2
^ 8 |
256 |
100000000 |
| 2
^ 9 |
512 |
1000000000 |
| 2
^ 10 |
1024 |
10000000000 |
Un ejemplo más simple: 1000 (binario) a decimal:
b) Conversión de octal a decimal
231,458
= ( 2x8^2 + 3x8^1 + 1x8^0 + 4x8^-1 + 5x8^-2 )10
231,458 =( 2x64 + 3x8 + 1x1 + 4x1/8 + 5x1/82 )10
231,458 =( 128 + 24 + 1 + 4x0.125 + 5x0.015625 )10
231,458 =153.5781210
c) Conversión de hexadecimal a decimal
73,D516
= ( 7x16^1 + 3x16^0 + Dx16^-1 + 5x16^-2 )10
73,D516 = 115.8320310
2.4.2 Conversión del decimal a otro de base n
El siguiente algoritmo
para convertir un número N10 a su representación
en una base distinta de 10, distingue entre la parte entera y la parte fraccionaria
de N10.
1) Parte Entera:
Se divide la parte
entera de N10 por la base n.
El cociente obtenido se divide nuevamente por n. Así sucesivamente, cada
cociente se divide por n, hasta obtener cociente 0.
La sucesión de residuos, en orden inverso, es la representación
en la base n, de la parte entera de N10.
Por ejemplo, aquí se convierte el numero 8 (decimal) a binario:
2) Parte fraccionaria:
Se multiplica
la parte fraccionaria de N10 por la base n, y se considera la parte entera de
este producto. La parte fraccionaria del producto se multiplica nuevamente por
la base n, hasta obtener parte fraccionaria cero o igual a una anterior.
La sucesión de las partes enteras de los productos, en el orden en que
fueron efectuados, es la representación en la base n, de la parte fraccionaria
de N10.
Observación: Es claro que si N10 es un número entero, sólo
aplicaremos 1), y si N10 tiene parte entera nula, sólo aplicaremos 2).
2.4.2.1 Ejemplos de Decimal
a Binario:
a) Sea en número N10=218,6875:
a1) Parte entera: 21810
|
Divisiones |
Cocientes |
Residuos |
|---|---|---|
| 218/2 |
109 |
0 |
| 109/2 |
54 |
1 |
| 54/2 |
27 |
0 |
| 27/2 |
13 |
1 |
| 13/2 |
6 |
1 |
| 6/2 |
3 |
0 |
| 3/2 |
1 |
1 |
| 1/2 |
0 |
1 |
Fin (Cociente 0)
Luego 21810=110110102
a2) Parte fraccionaria: 0,687510
|
Multiplicaciones |
Partes
enteras |
|---|---|
| 0,6875x2=1,3750 |
1 |
| 0,3750x2=0,7500 |
0 |
| 0,7500x2=1,5000 |
1 |
| 0,5000x2=1,0000 |
1 |
Fin (parte fraccionaria igual a cero)
Luego 0,687510=0,10112 ; Por lo tanto 218,687510=11011010,10112
b) Sea ahora el número 83,610
b1) Parte entera: 8310
|
Divisiones |
Cocientes |
Residuos |
|---|---|---|
| 83/2 |
41 |
1 |
| 41/2 |
20 |
1 |
| 20/2 |
10 |
0 |
| 10/2 |
5 |
0 |
| 5/2 |
2 |
1 |
| 2/2 |
1 |
0 |
| 1/2 |
0 |
1 |
Fin el cociente
es cero
Luego 8310=10100112
b2) Parte fraccionaria: 0,610
Notas 0,6x2=1,2
< Desde acá se repite
una parte fraccionaria.
Luego los dígitos en
binario se repetirán
indefinidamente...0,2x2=0,4 0,4x2=0,8 0,8x2=1,6 0,6x2=1,2 0,6 0,2x2=0,4 0,4x2=0,8 0,8x2=1,6 ...
Luego 0,610=0,1001
1001 1001 ... 2 (binario periódico)
Escribimos 0,610=0,10012
Por lo tanto 83,610=1010011,10011001... 2
REGLA PRACTICA
1) Parte entera:
Se busca
la mayor potencia de 2 que no exceda a N10. Esta potencia se resta de N10. Al
resultado se le vuelve a restar la mayor potencia de 2 que no lo supere. Se
procede así hasta obtener una diferencia 0.
El equivalente binario del entero N10 se encuentra escribiendo 1 para las potencias
de 2 que hayan sido restadas y 0 para las demás.
Ejemplo: Sea N10=4910.
| 49 |
|
| -32 |
(1x2^5) |
| 17 |
|
| -16 |
(1x2^4) |
| 1 |
|
| -1 |
(1x2^0) |
| 0 |
(Fin diferencia = 0). Luego:
4910= ( 1*2^5 + 1*2^4 + 0*2^3 + 0*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 )10
4910= 1100012
2)Parte fraccionaria:
Se va realizando una sumatoria de las potencias de 2 negativas comenzando desde el valor -1, mientras la sumatoria no supere a la parte fraccionaria, hasta que se iguale a dicha parte fraccionaria o se alcance una precisión deseada. Cuando al sumar una potencia la sumatoria no exceda a la parte fraccionaria se debe tomar como dígito un 1, si al sumar la potencia la sumatoria excede a la parte fraccionaria, implica que el dígito debe tomarse igual a 0.
Sea N10=0,6875:
2^-1 = 0,5
S=0,5
No
excede, dígito es 1
2^-2 = 0,25 S=0,5+0,25=0,75
Si
excede, dígito es 0
2^-3 = 0,125 S=0,5+0,125=0,625
No excede, dígito
es 1
2^-4 = 0,0625 S=0,625+0,0625=0,6875
No excede, dígito es 1.
Fin. El valor de S igualo a la parte fraccionaria.
Luego N10 = 0,687510 = 0,10112
Observación: En algunos casos es necesario infinitos términos para que la sumatoria alcance la parte fraccionaria. En este caso se debe truncar a un cierto número de cifras, y por consiguiente no se puede alcanzar la igualdad. Un caso particular de infinitas cifras es cuando existe un período (grupos de cifras que se repiten).
Ejemplo: N10 = 0,6 = 0,100110011001... 2
2.4.2.2 Ejemplos de Decimal a Octal
Sea 153,437510
b1) Parte entera
|
Divisiones |
Cocientes |
Residuos |
|---|---|---|
| 153/8 | 19 | 1 |
| 19/8 | 2 | 3 |
| 2/8 | 0 | 2 |
Fin (cociente 0). Luego 15310=2318
b2) Parte fraccionaria
0,4375 x 8 =3,5 0,5 x 8 = 4,0 Fin (parte fraccionaria igual a cero).
Luego 0,437510=0,348;Por lo tanto 153,437510 = 231,348
2.4.2.3 Ejemplos de Decimal a Hexadecimal
Sea 967,310
c1) Parte entera:
Luego 96710=3C716
c2) Parte fraccionaria:
Luego 0,310= 0,4CCC…16(periódico hexadecimal);
Por lo tanto 967,310 = 3C7,4CCCC...16
2.4.3 Conversión entre binario, octal y hexadecimal
Como 8=2^3, cada dígito octal tiene una única representación binaria de 3 bits (3 dígitos binarios), como indica la siguiente tabla:
|
Octal |
Binario |
|---|---|
| 0 |
000 |
| 1 |
001 |
| 2 |
010 |
| 3 |
011 |
| 4 |
100 |
| 5 |
101 |
| 6 |
110 |
| 7 |
111 |
De esta manera, cada dígito octal puede pensarse como una notación abreviada para el valor equivalente en 3 bits, que figura en la tabla.
Según esto, para convertir un número octal a su forma binaria, directamente reemplazamos cada dígito octal por su correspondiente binario.Sea 4206,318 tendremos:
Luego 4206,318=100010000110,0110012
Como 16=2^4, cada dígito hexadecimal tiene una única representación binaria de 4 bits (4 dígitos binarios), como indica la siguiente tabla:
Luego, para convertir un número hexadecimal a su forma binaria, directamente reemplazamos cada dígito hexadecimal por su equivalente binario.Sea 27,A316
Luego 27,A316=00100111,101000112
Un número binario se representa en su forma octal, particionandolo en bloques de 3 bits. Se comienza desde el punto binario hacia la izquierda y hacia la derecha. Se agregan ceros al comienzo o al final si es necesario.
Luego se reemplaza cada bloque por el dígito octal equivalente.
Ejemplo: 11011,01012 = 011 011 , 010 1002
3 3 , 2 4 = 33,248
2.4.3.4 De binario a Hexadecimal
Un número binario se representa en su forma hexadecimal particionandolo en bloques de 4 bits y reemplazándolos luego cada bloque por el dígito hexadecimal equivalente.Esto es
2.4.4 Resumen de Conversión entre los Sistemas de Numeración
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2.4.5 Practica: 1) Realizar las siguientes conversiones:
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