RELACION BINARIA


Introducción:
Sea un ejemplo de la vida diaria:
A = {x /x es mujer} B = {x /x es hombre}
AxB = {(x,y) / x es mujer ; y es hombre}

De este conjunto se diferencian algunos pares ordenados, por ejemplo:
(Ana, Pedro) de forma que ....”Ana es novia de Pedro”.....
Análogamente: (María, Juan)
De todos los pares de AxB, sólo algunos cumplirán con este “vínculo” entre una mujer y un hombre.-
Se dice entonces que se tiene definida una relación entre las mujeres y los hombres, o sea entre A y B.

En este caso se indica que: Ana R Pedro ó que (A, P)Î R
María R Juan ó que (M, J)Î R
Sin embargo el par (M, P)Ï R.
De esta manera, es posible definir el concepto de relación.

Definición: R es una relación de A en B si y sólo si R es un subconjunto de AxB.

O sea: R es una relación de A en B sii R Í AxB.

Notación:
1) (a, b) Î R indica que aÎ A está en relación con bÎ B por medio de R.
Se indica con: a R b.
(a, b) Ï R ó a R b.

2) Al conjunto A se lo denomina conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada.

Ejemplo:
Sea A = {1; 2; 3} , B = {2; 4}
AxB = {(1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (3, 2); (3, 4)}

R1 = {(x, y) Î AxB / x ³ y} = {(2, 2); (3, 2)}
R2 = {(x, y) Î AxB / x divide a y} = {(1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4)}
R3 = {(x, y) Î AxB / y = x+1 } = {(1, 2); (3, 4)}

Representación Gráfica

a- Diagramas de Venn
Se representan por diagramas de Venn los conjuntos A y B, se unen con flechas los elementos de A que están en relación con los elementos de B.

Para nuestro ejemplo R1



Sistema Cartesiano


Dominio de una Relación


Definición: Se llama Dominio de una relación, al conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación. Se indica con: Dom R ó DR

Imagen de una Relación


Definición: Se llama Imagen de una relación, al conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación. Se indica con: Im R ó IR

Ejemplo:
El dominio e imagen para cada una de las relaciones definidas en el ejemplo anterior es:
Dom R1 = { 2; 3}
Im R1 = {2}

Dom R2 = {1; 2}
Im R2 = {2; 4}

Dom R3 = {1; 3}
Im R3 = {2; 4}

Relación Inversa


Definición: Dada una relación R se define “ relación inversa de R” al conjunto de pares ordenados invertidos (en el orden de sus componentes) respecto de R. Se indica con R-1
O sea: (a,b) Î R ó (b,a) Î R-1

Ejemplo:
La relación inversa de cada una de las relaciones definidas en los ejemplos anteriores es:
R1-1 = {(2, 2); (2, 3)}
R2-1 = {(2, 1); (4, 1); (2, 2); (4, 2)}
R3-1 = {(2, 1); (4, 3)}

Ejercicios

Aplicación
De todas las relaciones que se pueden definir a partir del producto cartesiano de dos conjuntos A y B, se pueden distinguir algunas; en particular aquellas que verifican ciertas condiciones dando origen así a las Aplicaciones

Definición: Dados dos conjuntos A y B se define una aplicación de A en B a un conjunto g que verifica:
g Í AxB
Para todo a Î A, existe b Î B tal que (a, b) Î g
Si (a, b) Î g y (a, c) Î g entonces b=c

Observaciones:
Indica que g es subconjunto de AxB, o sea que g es una relación.
Indica que todo elemento a Î A tiene una imagen b Î B.
Indica que si un elemento a Î A tiene imagen, ésta es única.

Ejemplos prácticos:
Analizar cuales de las siguientes relaciones son aplicaciones.




Son aplicaciones g1 y g3


<< Anterior // Siguiente >>