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LUGARES GEOMÉTRICOS Y ECUACIONES

Estudiaremos el concepto de lugar geométrico y veremos algunos de ellos en el plano y en el espacio, distintas formas de representarlos gráficamente y de hallar sus ecuaciones.

Definición: Llamaremos lugar geométrico en el plano (en el espacio) al conjunto de todos los puntos del plano (del espacio) que verifican una o varias propiedades geométricas, y sólo a ellos.
De acuerdo con esto, un punto P pertenece a un lugar geométrico sii dicho punto satisface la o las propiedades que lo caracterizan.

Ejemplos:
1) Representar el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los semiejes de igual signo:
Es la bisectriz del primer y tercer cuadrantes



2) Representar el lugar geométrico de los puntos del espacio que se encuentran 2 unidades por encima del plano xy:

Es el plano paralelo al xy, cuya
distancia a este plano es 2

Los vectores a que hagamos referencia, se considerarán aplicados en el origen, salvo que sea necesario indicar lo contrario.
Antes de comenzar con el desarrollo de las distintas ecuaciones, veamos algunos conceptos.

Vector Director de una recta


Dada una recta en el plano o en el espacio, si consideramos un vector no nulo cualquiera paralelo a ella, es claro que sus direcciones coinciden. Podemos afirmar entonces que un vector no nulo determina la dirección de cualquier recta paralela a él, y recíprocamente, para cualquier recta es posible encontrar algún vector no nulo paralelo a ella, que determina su dirección.
Definición: Dada una recta en el plano o en el espacio, llamaremos vector director de la recta, a cualquier vector no nulo paralelo a ella.


PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD DE RECTAS


Definición: Dos rectas en el plano (en el espacio) son paralelas si y sólo si cualquier vector director de una de ellas es paralelo a cualquier vector director de la otra. De manera análoga, dos rectas en el plano (en el espacio) son perpendiculares si y sólo si cualquier vector director de una de ellas es perpendicular a cualquier vector director de la otra.

En el plano

Paralelas

(P=pto de intersección)

Perpendiculares


En el espacio


Paralelas

Perpendiculares que se cortan

Perpendiculares que no se cortan


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